Equilibrio de Nash. Teoría de juegos para economistas (John Nash)

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Última modificación: 2024-02-12 06:09

En la década de 1930, John von Neumann y Oscar Morgenstern se convirtieron en los fundadores de una nueva e interesante rama de las matemáticas llamada "teoría de juegos". En la década de 1950, el joven matemático John Nash se interesó en esta dirección. La teoría del equilibrio se convirtió en el tema de su disertación, que escribió a la edad de 21 años. Así nació una nueva estrategia de juego llamada "Nash Equilibrium", que ganó el Premio Nobel muchos años después, en 1994.

La larga brecha entre escribir una disertación y el reconocimiento general se ha convertido en una prueba para un matemático. El genio sin reconocimiento resultó en graves trastornos mentales, pero John Nash pudo resolver este problema gracias a su excelente mente lógica. Su teoría del equilibrio de Nash ganó un premio Nobel y su vida fue filmada en Beautiful mind.

Brevemente sobre teoría de juegos

Dado que la teoría del equilibrio de Nash explica el comportamiento de las personas en las condiciones de interacción, vale la pena considerar los conceptos básicos de la teoría de juegos.

La teoría de juegos estudia el comportamiento de los participantes (agentes) en términos de interacción entre ellos como un juego, cuando el resultado depende de la decisión y el comportamiento de varias personas. El participante toma decisiones en base a sus predicciones sobre el comportamiento de los demás, lo que se denomina estrategia de juego.

También existe una estrategia dominante en la que el participante obtiene el mejor resultado para cualquier comportamiento de los demás participantes. Esta es la mejor estrategia de ganar-ganar del jugador.

El dilema del prisionero y el avance científico

El dilema del prisionero es un caso de juego donde los participantes se ven obligados a tomar decisiones racionales, logrando un objetivo común frente a un conflicto de alternativas. La pregunta es cuál de estas opciones elegirá, dándose cuenta del interés personal y general, así como de la imposibilidad de obtener ambos. Los jugadores parecen estar aprisionados en un entorno de juego duro, lo que a veces les hace pensar de forma muy productiva.

Este dilema fue explorado por el matemático estadounidense John Nash. El equilibrio que logró fue revolucionario a su manera. Este nuevo pensamiento influyó de manera especialmente brillante en la opinión de los economistas acerca de cómo los actores del mercado toman decisiones, teniendo en cuenta los intereses de los demás, con una estrecha interacción e intersección de intereses.

Es mejor estudiar la teoría de juegos a través de ejemplos concretos, ya que esta disciplina matemática en sí misma no es puramente teórica.

Ejemplo del dilema del prisionero

Ejemplo, dos personas cometieron un robo, cayeron en manos de la policía y están siendo interrogadas en celdas separadas. Al mismo tiempo, los policías ofrecen a cada participante condiciones favorables bajo las cuales será liberado si testifica contra su pareja. Cada uno delos delincuentes tienen el siguiente conjunto de estrategias que considerará:

Ambos testifican al mismo tiempo y reciben dos años y medio de prisión.
Ambos guardan silencio al mismo tiempo y reciben 1 año cada uno, porque en este caso la base probatoria de su culpabilidad será pequeña.
Uno testifica y es liberado, mientras que el otro guarda silencio y recibe 5 años de prisión.

Obviamente, el resultado del caso depende de la decisión de ambos participantes, pero no pueden ponerse de acuerdo porque están sentados en celdas diferentes. El conflicto de sus intereses personales en la lucha por un interés común también es claramente visible. Cada uno de los prisioneros tiene dos opciones de acción y 4 opciones de resultados.

Cadena de inferencias lógicas

Entonces, el delincuente A está considerando las siguientes opciones:

Estoy en silencio y mi pareja está en silencio; ambos recibiremos 1 año de prisión.
Entrego a mi pareja y él me entrega a mí. Ambos tenemos dos años y medio de prisión.
Me quedo callado y mi pareja me traiciona: me van a dar 5 años de prisión y él quedará en libertad.
Entrego a mi pareja, pero él se calla - Obtengo la libertad y él recibe 5 años de prisión.

Vamos a dar una matriz de posibles soluciones y resultados para mayor claridad.

Tabla de posibles resultados del dilema del prisionero.

La pregunta es, ¿qué elegirá cada concursante?

"Calla, no puedes hablar" o "No puedes callar, no puedes hablar"

Para comprender la elección del participante, es necesario recorrer la cadena de sus pensamientos. Siguiendo el razonamiento del penal A: si yo callo y mi pareja calla, recibiremos un plazo mínimo (1 año), pero yoNo sé cómo se comportará. Si testifica en mi contra, entonces es mejor que yo testifique, de lo contrario, puedo sentarme durante 5 años. Prefiero sentarme durante 2,5 años que 5 años. Si él guarda silencio, tanto más necesito testificar, porque así obtendré mi libertad. Participante B.

No es difícil ver que la estrategia dominante para cada uno de los perpetradores es testificar. El punto óptimo de este juego llega cuando ambos criminales testifican y reciben su "premio": 2,5 años de prisión. La teoría de juegos de Nash llama a esto equilibrio.

Solución de Nash óptima no óptima

La naturaleza revolucionaria de la visión de Nashian es que tal equilibrio no es óptimo cuando se considera al participante individual y su propio interés. Después de todo, la mejor opción es permanecer en silencio y ser libre.

El equilibrio de Nash es un punto de convergencia de intereses, donde cada participante elige la opción que es óptima para él solo si los demás participantes eligen una determinada estrategia.

Considerando la opción cuando ambos criminales están en silencio y reciben solo 1 año, podemos llamarla una opción óptima de Pareto. Sin embargo, solo es posible si los delincuentes pueden ponerse de acuerdo de antemano. Pero incluso esto no garantizaría este resultado, ya que la tentación de retractarse del acuerdo y evitar el castigo es grande. La f alta de total confianza entre ellos y el peligro de llegar a los 5 años obligan a elegir la opción con reconocimiento. Reflexionar sobre lo que se adherirá a los participantesLa opción con el silencio, actuando en concierto, es simplemente irracional. Se puede llegar a tal conclusión si estudiamos el equilibrio de Nash. Los ejemplos solo dan la razón.

Egoísta o racional

La teoría del equilibrio de Nash arrojó conclusiones sorprendentes que refutan los principios que existían antes. Por ejemplo, Adam Smith consideró el comportamiento de cada uno de los participantes como completamente egoísta, lo que equilibró el sistema. Esta teoría se denominó la “mano invisible del mercado”.

John Nash vio que si todos los participantes actúan en su propio interés, esto nunca conducirá a un resultado grupal óptimo. Dado que el pensamiento racional es inherente a cada participante, la elección que ofrece la estrategia de equilibrio de Nash es más probable.

Experimento puramente masculino

Un excelente ejemplo es el juego de la paradoja de la rubia, que, aunque aparentemente fuera de lugar, es una clara ilustración de cómo funciona la teoría de juegos de Nash.

En este juego, debes imaginar que una compañía de chicos gratis llegó a un bar. Cerca hay una compañía de chicas, una de las cuales es preferible a otras, digamos una rubia. ¿Cómo actúan los chicos para conseguir la mejor novia para ellos?

Entonces, el razonamiento de los muchachos: si todos comienzan a familiarizarse con la rubia, lo más probable es que nadie lo entienda, entonces sus amigos no querrán conocerse. Nadie quiere ser el segundo suplente. Pero si los chicos deciden evitarrubia, entonces la probabilidad de que cada uno de los chicos encuentre una buena novia entre las chicas es alta.

La situación de equilibrio de Nash no es óptima para los hombres, porque, al perseguir solo sus propios intereses egoístas, todos elegirían a la rubia. Puede verse que la búsqueda de intereses egoístas únicamente equivaldrá al colapso de los intereses grupales. El equilibrio de Nash significará que cada individuo actúa en función de sus propios intereses, que están en contacto con los intereses de todo el grupo. Esta no es la mejor opción para todos personalmente, pero es la mejor para todos, según la estrategia general para el éxito.

Toda nuestra vida es un juego

La toma de decisiones en el mundo real es muy parecida a un juego en el que también esperas ciertos comportamientos racionales de otros participantes. En los negocios, en el trabajo, en un equipo, en una empresa e incluso en las relaciones con el sexo opuesto. Desde los grandes negocios hasta las situaciones de la vida cotidiana, todo obedece a una u otra ley.

Por supuesto, las situaciones de juego anteriores con criminales y un bar son solo excelentes ilustraciones que demuestran el equilibrio de Nash. Los ejemplos de tales dilemas surgen muy a menudo en el mercado real, y esto funciona especialmente en los casos en que dos monopolistas controlan el mercado.

Estrategias mixtas

A menudo no participamos en uno, sino en varios juegos a la vez. Elegir una de las opciones en un juego, guiado por una estrategia racional, pero terminas en otro juego. Después de algunas decisiones racionales, es posible que el resultado no sea de su agrado. Quétomar?

Consideremos dos tipos de estrategia:

Estrategia pura es el comportamiento del participante, que surge de pensar en el posible comportamiento de otros participantes.
Estrategia mixta o estrategia aleatoria es la alternancia de estrategias puras al azar o la elección de una estrategia pura con cierta probabilidad. Esta estrategia también se llama aleatoria.

Considerando este comportamiento, obtenemos una nueva mirada al equilibrio de Nash. Si anteriormente se dijo que el jugador elige una estrategia una vez, entonces se puede imaginar otro comportamiento. Se puede suponer que los jugadores eligen una estrategia aleatoriamente con cierta probabilidad. Los juegos que no pueden encontrar equilibrios de Nash en estrategias puras siempre los tienen en estrategias mixtas.

El equilibrio de Nash en estrategias mixtas se denomina equilibrio mixto. Este es un equilibrio en el que cada participante elige la frecuencia óptima de elección de sus estrategias, siempre que los demás participantes elijan sus estrategias con una frecuencia dada.

Pen altis y estrategia mixta

Un ejemplo de una estrategia mixta se puede encontrar en el juego de fútbol. La mejor ilustración de una estrategia mixta es quizás la tanda de pen altis. Entonces, tenemos un portero que solo puede s altar a una esquina y un jugador que lanzará el pen alti.

Entonces, si la primera vez que el jugador elige la estrategia de disparar a la esquina izquierda, y el portero también cae en esta esquina y atrapa la pelota, ¿cómo pueden evolucionar las cosas la segunda vez? si el jugadorgolpeará en la esquina opuesta, lo más probable es que esto sea demasiado obvio, pero golpear en la misma esquina no lo es menos. Por lo tanto, tanto el portero como el pateador no tienen más remedio que confiar en la selección aleatoria.

Así, alternando la selección aleatoria con cierta estrategia pura, el jugador y el portero intentan obtener el máximo resultado.